一个困扰固体物理计算三十余年的基础问题
Hartree-Fock方法在量子化学和凝聚态物理中占据着不可替代的地位。它是所有波函数方法的出发点——从MP2微扰理论到耦合簇方法，从组态相互学到多参考态方法，无一不以HF波函数作为零级近似。同时，它也是密度泛函理论中杂化交换关联泛函的核心构件。B3LYP、PBE0、HSE06等广泛使用的泛函都将一定比例的精确HF交换纳入其中，以弥补半局域泛函的系统性偏差。无论研究者关注的是化学反应路径、固态缺陷形成能、表面分子吸附构型还是电子激发态性质，HF参考态的精度都直接左右最终结果的可靠性。
然而，一个根本性的技术难题在固体电子结构领域长期悬而未决：如何在周期性固体体系中真正达到Hartree-Fock完全基组极限？
对于分子体系而言，这个障碍早在二十世纪末就已被彻底克服。以Dunning发展的cc-pVXZ系列为代表的系统性高斯基组族，配以Schwenke等人的标准外推程序，使得分子HF极限能量的获取成为常规操作。计算化学家可以在几分钟内获得小分子HF能量到亚千卡每摩尔的精度。但固体的情况完全不同。以原子为中心的线性组合原子轨道（LCAO）基组在周期性边界条件下的收敛行为严重依赖于具体体系——基组的准线性依赖问题和体系特异性的收敛路径使得系统性改善变得极其困难。平面波赝势方案虽然在收敛性方面更可控，但赝势本身的构造近似会引入难以量化和消除的系统误差。
因此，固体的高质量全电子HF极限基准数据极其匮乏。在这项工作发表之前，仅LiH这一最简单的周期性二元化合物拥有为数不多的几组直接HF总能量数据，而且这些数据之间本身就存在不可忽视的差异。其余固体的所谓HF"极限"要么依赖于基组外推（其可靠性难以独立检验），要么来自局部密度近似或广义梯度近似构造的赝势（引入了与HF理论本身不一致的近似），要么基于将分子外推方案生搬硬套到周期性体系（忽略了周期性特有的技术困难）。
2026年6月18日，拉脱维亚大学物理系的Jānis Užulis和Andris Gulans在arXiv上传了题为"Hartree-Fock Limit for Energies in Solids"的研究论文（arXiv:2606.20116v1）。他们首次在全电子线性缀加平面波（LAPW）框架内，构建了与HF哈密顿量自洽的径向基函数和芯态轨道，从根本上消除了标准LAPW方法在处理非局域交换算符时存在的不一致性。这一方法学突破不仅打通了固体体系通向HF完全基组极限的道路，更为赝势评估、基组开发和X射线光谱模拟等领域提供了长期缺失的精确参考数据。
LAPW方法的精髓与核心矛盾
要理解这项工作的技术突破，必须先认识LAPW方法的基本框架，以及它在处理HF交换时面临的根本困难。
LAPW方法是固体电子结构计算中公认的事实标准参考框架。它最早由Andersen在1975年提出，后经Hamann、Schlüter和Chiang以及Takeda和Kubler等人的发展而成熟，如今已成为最精确的固体全电子方法之一。其基本思想是将元胞划分为两个互补区域：以原子核为中心的非重叠原子球（muffin tin球）和原子球之间的间隙区域。这种分区策略充分利用了固体中电子波函数的物理特征——在远离原子核的间隙区域，波函数平滑且缓慢变化，自然适合平面波展开；而在原子核附近，波函数剧烈振荡，需要更灵活的径向函数来描述。
间隙区域中，价电子波函数以平面波展开：
ψ_nk(r) = Σ_G Z_{nG+k} exp(i(G+k)·r)
其中Z_{nG+k}是变分系数，G为倒格矢，k为Bloch波矢。这部分的收敛性由无量纲截断参数R_MT·K_max控制，其中R_MT是原子球半径，K_max是允许的最大|G+k|值。总能量对此参数呈现指数型收敛，不存在原则性困难。
关键困难在原子球内部。波函数在那里展开为径向基函数与球谐函数的乘积：
ψ_nk(r) = Σ_{sℓm} C_{nk,sℓm} u_{sℓ}(r_α) Y_{ℓm}(r̂_α)
其中r_α = r - R_α是以原子核α位置为中心的局域坐标，径向函数u_{sℓ}(r)的品质决定了原子球内部表示的紧凑性和精度。在标准LAPW实现中，这些径向基函数来自如下径向Schrodinger方程的解u_ℓ(r; E_ℓ)及其能量导数：
[-½ ∂²/∂r² + ℓ(ℓ+1)/(2r²) + v₀(r) - E_ℓ] r·u_ℓ(r; E_ℓ) = 0
这里v₀(r)是球对称（Y₀₀分量）的局域试探势。方程隐含的关键假设是势为局域的——即电子感受到的势能只与其位置有关，而与其波函数的形状无关。这在Kohn-Sham密度泛函理论中完全成立，因为Kohn-Sham势是局域的乘法算符。然而，Hartree-Fock哈密顿量中的Fock交换算符K̂本质上是非局域的。它的作用不能表示为简单的乘法运算，而是对波函数在空间中所有点的积分变换。这就是矛盾的核心：LAPW的径向基函数构造方式天然假设了局域势，但HF哈密顿量包含非局域的交换项。
这个不一致性的实际后果是什么？在现有的周期性HF计算实践中，常用的回避策略是：先用密度泛函（通常为PBE泛函）做一次预计算，得到一个固定的局域势v₀(r)，然后用这个势来生成径向基函数和芯态轨道。这样，径向基函数与HF哈密顿量之间就存在系统性的不匹配。Ref. [13]先前已经表明，使用PBE径向函数的LAPW计算在原则上可以接近微哈特里精度——但代价是需要异常庞大的径向基组。对于Cl₂这样的双原子分子尚可接受，但对于含有第三周期及更重元素的体系，所需的基组规模已经急剧膨胀到不切实际的程度。
方法创新：直接从HF哈密顿量构造径向基
Užulis和Gulans的核心创新在于完全绕过了上述变通策略，直接从HF哈密顿量出发构造径向基函数。他们的方法在全电子LAPW代码exciting中实现。exciting是一个开源的全电子LAPW代码，由Andris Gulans的研究组主导开发，以其对先进电子结构方法的支持而著称。
方法的核心思想可以用一句话概括：既然HF哈密顿量包含非局域交换，那就把非局域交换直接纳入径向方程的求解过程。具体技术路线如下。
在原子球内部采用球平均近似后——即将交换算符对球谐函数m量子数的依赖平均化——交换算符作用在径向基函数上的效果可以写成纯径向形式：
K̂[u_ℓ(r; E_ℓ) Y_{ℓm}(r̂)] = h_ℓ(r) Y_{ℓm}(r̂)
这意味着非局域交换在球平均条件下投影为一个纯径向函数h_ℓ(r)。有了这个表达式，径向Schrodinger方程被推广为一个非齐次方程：
[-½ ∂²/∂r² + ℓ(ℓ+1)/(2r²) + v₀(r) - E_ℓ] r·u_ℓ(r; E_ℓ) = -r·h_ℓ(r)
右边多了非局域交换的贡献。由于h_ℓ(r)本身依赖于u_ℓ(r; E_ℓ)——交换算符作用在波函数上产生h_ℓ(r)，而波函数又由h_ℓ(r)决定——这个方程变为非线性自洽问题，必须迭代求解。
迭代方案分为三步：（1）固定h_ℓ(r)，将方程视为非齐次径向Schrodinger方程，向外积分求解u_ℓ(r; E_ℓ)；（2）利用更新后的u_ℓ(r; E_ℓ)重新计算交换算符的作用，得到新的h_ℓ(r)；（3）重复步骤（1）和（2）直到u_ℓ(r; E_ℓ)在连续两次迭代间的变化可以忽略。
h_ℓ(r)的计算涉及两个独立的贡献：芯态贡献和价态贡献。芯态贡献来自完全局域在原子球内的芯态轨道，其表达式涉及Wigner 3-j符号和径向积分。由于芯态轨道在原子球边界处已趋近于零，这部分贡献的计算是精确的。价态贡献则通过密度矩阵P^{ζ'L'M'}_{ζLM}与价态径向函数关联，需要对所有占据态求和。密度矩阵在球平均条件下被对角化——当L≠L'或M≠M'时设为零——并在M方向取平均，以确保自洽性。
对于芯态轨道的求解，作者面临了额外的数值挑战。深芯态（如1s、2s、2p）几乎完全局域在原子球内部，波函数在原子球边界处的值已衰减到机器精度以下。传统的向外积分配合射击法（shooting method）在此类情况下数值不稳定，因为射击法依赖于波函数在边界处的匹配条件，而深芯态在边界处的信号几乎为零。为此，作者采用了基于积分方程和Green函数的方法。他们将芯态满足的微分方程通过Green函数反演转化为等价的积分方程，然后通过迭代求解。这种方案避免了边界匹配这一数值敏感的步骤。作者在另一篇独立论文中详细描述了原子体系的Green函数方法实现，本文将其扩展到LAPW框架的原子球环境。
径向基函数的构建还需要精心处理芯-价分区。每个原子的电子态被划分为芯态（完全局域在原子球内）和价态（在原子球间有非零分布）。对于仅含一个价壳层的角动量通道，使用至少三个径向自由度：基函数u_ℓ(r; E_ℓ)及其一阶和二阶能量导数。如果同一角动量通道中同时存在半芯态（如3d过渡金属中的3s和3p态）和价态，则需要至少五个径向函数，分别对应于半芯态能量和价态能量处的基函数及其导数。能量参数的选择采用Wigner-Seitz规则——取波函数在原子球边界处节点出现时的对应能量之平均值。
分子验证：五个双原子分子的微哈特里精度
任何新的电子结构方法都需要严格的基准验证。作者选择了五个双原子分子作为测试集：H₂、HF、F₂、ClF和Cl₂。这个选择覆盖了从最轻的氢到含氯的较重体系，涵盖了不同化学键类型（共价键、极性共价键）和不同电子结构复杂度（从5个电子的H₂到87个电子的Cl₂）。分子几何取自文献参考值，其中H₂使用0.7414埃的键长。
为消除周期性镜像相互作用——LAPW方法固有地使用周期性边界条件，而分子在自然界中是孤立的——所有计算在大型立方元胞中进行，并对Coulomb和交换项采用球形截断以消除长程相互作用。计算结果与高精度文献值或使用HelFEM代码的额外计算进行比对。HelFEM是一个基于有限元方法的原子和分子Hartree-Fock代码，可以提供极高精度的参考数据。
结果令人瞩目。五个分子的总能量最大偏差仅为2.5微哈特里（μHa）。具体而言，H₂的偏差为负0.3 μHa，HF为正1.4 μHa，F₂为正2.3 μHa，ClF为正0.9 μHa，Cl₂为正2.5 μHa。1微哈特里大约相当于0.0006千卡每摩尔或0.003千焦每摩尔——这是一个极其微小的能量尺度。作为对比，室温下的热能k_BT约为0.6千卡每摩尔，比本文的最大偏差大了约一千倍。
基组收敛性分析进一步证实了HF自洽构造相对于PBE构造的优越性。以Cl₂为例，作者对比了两种构造方案下总能量随径向基函数数量增加的收敛行为。使用PBE径向函数时，总能量误差随基组增大缓慢下降，需要大量额外的高角动量函数才能接近HF极限。而使用HF自洽构造后，误差呈快速指数衰减——仅需少量额外的d和f径向函数即可达到微哈特里精度。这种收敛行为的改善源于径向基函数与实际HF哈密顿量之间的内在一致性。
从绝对能量到相对能量：误差抵消的系统研究
虽然绝对总能量的精确获取需要高度完备的基组，但实际应用中最常关心的是相对能量——形成能、反应能、缺陷形成能、活化能等。这些相对量天然受益于误差抵消：当两个相近的电子结构计算中存在类似的系统误差时，这些误差在求差时会相互抵消，使得相对能量的精度远高于绝对总能量的精度。
作者用三个体系系统地量化了这一误差抵消效应。他们计算了HF、ClF和ClF₅从元素双原子分子生成的HF形成能，比较了三种计算方案的结果：LAPW(HF/HF)——使用HF自洽的芯态和径向基函数（本文的参考标准）；LAPW(HF/PBE)——使用HF自洽的芯态但PBE径向基函数；LAPW(PBE/PBE)——标准方案，使用PBE推导的芯态和径向基函数。同时与aug-cc-pVXZ（X从2到6）系列高斯基组族的结果进行了交叉对比，以提供不同方法学框架间的参照。
三个层次的关键发现浮出水面。
第一，对于HF和ClF这两个较简单的体系，高斯基组的形成能误差随基数增大快速收敛。在双zeta或三zeta水平，误差就低于1千卡每摩尔的化学精度阈值。LAPW(PBE/PBE)方案的误差始终很小，不超过0.1千卡每摩尔。
第二，ClF₅的要求明显更高。这是一个含有6个原子的分子，中心氯原子从Cl₂中的零价态变为ClF₅中的正五价态——氧化态变化幅度远大于ClF中从零到正一价的变化。这种更大的电子结构重组导致高斯基组的收敛显著变慢：即使使用aug-cc-pV6Z（含六重zeta角动量函数），与LAPW参考值仍相差约0.6千卡每摩尔。然而LAPW(PBE/PBE)在此体系中仍保持了优异表现，误差与LAPW(HF/PBE)几乎相同。
第三，对SiC形成能（相对于体Si和金刚石C固体）的计算提供了固体体系中的对应证据。使用简化截断值仅改变LAPW(HF/HF)结果0.004千卡每摩尔，LAPW(PBE/PBE)与LAPW(HF/PBE)的差异更小于10⁻⁴千卡每摩尔——完全可以忽略。
这些发现的实用意义是明确的：对于实际应用中关心的相对能量，标准的PBE构造方案已经提供了足够的精度。只有在追求绝对基准精度或需要精确芯态性质的场合，完整的HF自洽构造才是必要的。
14种半导体和绝缘体的基准数据
在分子验证通过后，作者将方法应用于晶体固体。他们计算了14种元素和二元半导体及绝缘体在实验晶体结构下的HF极限总能量和内聚能。这些材料涵盖了元素周期表前三周期的代表性化合物：
岩盐结构：LiH、LiF、NaF、NaCl、MgO、MgS。纤锌矿结构：BeO、AlN。闪锌矿结构：BN、BP、AlP、SiC。金刚石结构：C、Si。
选择这些材料的考量包括：它们涵盖了从离子键（如NaF）到共价键（如金刚石C）的不同键合类型；它们的实验结构参数高度可靠；它们在半导体、绝缘体和超硬材料领域有广泛的技术应用。
周期性HF计算引入了分子计算中不存在的额外复杂性。最突出的是Coulomb奇点问题：在G+k=0处，Coulomb相互作用的Fourier变换发散。这一发散在HF交换能的计算中需要特殊处理。作者采用了Spencer和Alavi提出的球形截断方案——在倒空间中对Coulomb势施加球形截断，消除与均匀电子气背景的虚假相互作用。Brillouin区采样的收敛对每个材料都进行了独立测试。
对于内聚能的计算，需要孤立原子的能量作为参考。由于LAPW实现是自旋限制的（即不区分alpha和beta自旋），而大多数孤立原子具有开壳层电子构型，作者使用NWChem代码进行了完全收敛的非限制性HF计算，采用偶数级数高斯基组以确保结果的可靠性。
全部14种材料的HF总能量和内聚能结果，数值不确定性估计约为3微哈特里。这是迄今为止最广泛的固体全电子HF基准数据集，涵盖了14种材料——而此前的直接HF基准基本上仅限于LiH一种。
关于LiH的对比尤其具有启示意义。此前已发表的直接HF总能量数据（全部基于LCAO方法）落在负8.064539到负8.064618哈特里之间——跨越了约80微哈特里的范围。本文的结果为负8.064710哈特里，低于所有先前的直接计算值。外推或微扰估计（如Ref. [5]的微扰HF极限估计）延伸到更低能量，与本文结果最为接近。内聚能方面，已发表的数据涵盖LCAO、平面波和组合方法，仅有四个值与本文结果在0.02千卡每摩尔以内一致，全部数据跨越零点几千卡每摩尔。
对于LiH——最简单的周期性HF基准——就已存在如此显著的差异，这清楚地表明：对于更复杂的固体，若缺乏严格的基准参照，任何声称达到HF极限的计算都难以被独立验证。本文的数据集正好填补了这一空白。
对立方结构材料，作者还报告了物态方程参数，包括平衡晶格常数、体弹性模量及其压力导数。这些附加数据为赝势评估和基组开发提供了更丰富的基准维度。
硅自间隙缺陷：从纯基准走向实际应用
作为方法从纯粹基准计算走向实际物理应用的桥梁，作者计算了硅中自间隙缺陷的HF形成能。自间隙缺陷——一个额外的硅原子插入完美晶格中——是半导体加工和辐射损伤中的核心缺陷类型。其形成能直接影响缺陷浓度、扩散行为和载流子寿命。
作者研究了两种构型：六方（H）构型中额外原子占据六方间隙位，劈裂（X）构型中额外原子与晶格原子形成劈裂对。这两种构型近年来已经用耦合簇等后HF方法进行了研究，但即使在最基本的HF理论层面就出现了可重复性问题。不同的LCAO基组（双zeta和三zeta级）和平面波赝势（VASP和Quantum Espresso使用的不同赝势）给出的结果分散明显。
作者使用与文献完全相同的17原子超胞结构，确保几何上的严格可比性。为提供非相对论和标量相对论两种情况的参考，他们分别进行了非相对论哈密顿量计算和使用原子零阶正则近似（ZORA）的计算。两组形成能相似但系统性地相差约1千卡每摩尔。这一差异虽不算大，但对于精确定量研究而言不可忽略，它表明即使在硅这样的轻元素体系中，标量相对论效应也不是完全可以忽略的。
与已有文献数据的比较揭示了赝势方法的几个系统性局限。第一，基于平面波赝势的结果分散度约为2到4千卡每摩尔，这可能反映了不同赝势构造方案之间的差异。对于缺陷形成能的定量预测，几个千卡每摩尔的不确定性可能意味着室温下缺陷浓度的数个量级变化。第二，平面波赝势数据有时被LCAO计算者用作完全基组极限的估计——但本文的全电子基准表明，赝势效应本身就可以使结果偏移几个千卡每摩尔。这意味着用赝势数据来校准LCAO基组的做法可能会引入系统偏差。第三，H和X两种构型的能量差对于确定它们的相对热力学稳定性至关重要，但此前文献中这个量从约3.5到10.8千卡每摩尔不等，无法给出可靠结论。本文的全电子数据为此争议提供了最可信的参考。
方法论的多维影响
这项工作的影响辐射到多个后续研究方向。
赝势评估与基组开发。本文的全电子HF基准数据为赝势方法提供了前所未有的严格测试集。14种材料的总能量、内聚能和物态方程参数，以及Si自间隙的缺陷形成能，构成了一套全面的检验标准。赝势开发者可以用这些数据来量化其赝势的精度上限，基组开发者可以用它们来评估新基组的收敛性。
杂化泛函在LAPW框架中的精确实现。由于作者的构造方案不限于HF——它直接适用于任何包含非局域交换的哈密顿量——LAPW框架内的杂化密度泛函可以借此获得与自身哈密顿量一致的径向基函数和芯态轨道。这对带隙预测、磁性描述、反应能垒计算和表面吸附能等杂化泛函的核心应用领域具有直接的改善作用。
X射线光谱模拟。方法提供的HF自洽芯态轨道使得基于杂化泛函芯态的X射线吸收光谱（XAS）、X射线发射光谱（XES）和X射线光电子能谱（XPS）理论模拟成为可能。此前LAPW框架中的X射线光谱计算通常基于PBE等半局域泛函的芯态，而半局域泛函对芯态的描述质量已被广泛认为是X射线光谱理论精度的主要瓶颈之一。
多体方法的起点优化。GW近似和Bethe-Salpeter方程等多体微扰理论以HF或杂化泛函作为出发点。更高质量的参考态意味着这些高阶方法的系统误差起点更低。对于GW计算中常见的带隙低估问题，更精确的HF参考可以改善自能展开的零级项。
新兴全电子方法的验证目标。本文的基准数据为有限元方法（如HelFEM的周期性推广）和多小波方法等新型全电子方法提供了严格验证标准。这些方法在分子体系中已展现出极高的精度，但向周期性固体的推广仍在进行中，迫切需要可靠的参考数据来评估其在固体中的表现。
精度与计算成本的实用权衡
本文传递的最务实的信息之一涉及精度层级的选择。绝对总能量——作为基组完备性和实现正确性的终极检验——需要完整的HF自洽径向基构造，不能有丝毫妥协。但形成能、缺陷形成能、反应能等实际应用中最常关心的相对量，从误差抵消中获得巨大收益。标准的PBE构造方案在这些量上的表现远好于其在绝对能量上的表现。
以SiC的形成为例。LAPW(PBE/PBE)与LAPW(HF/HF)之间形成能的差异小于万分之一千卡每摩尔——这个精度对于任何实际化学或材料科学应用都绰绰有余。而对于硅自间隙缺陷形成能，赝势不确定性（2到4千卡每摩尔）和标量相对论效应（约1千卡每摩尔）才是实际误差的主要来源，径向基构造方案的选择影响甚微。
这一结论对计算资源分配具有明确的指导意义。当研究目标是可靠的相对能量时，标准方案已经足够，节省下来的计算资源可以用于更充分的Brillouin区采样、更大的超胞或更高阶的相关方法。只有当目标涉及绝对能量标度、精确的X射线光谱模拟或严格的赝势评估时，完整的HF自洽构造才具有不可替代的价值。
对中国计算材料学研究群体的启示
中国在第一性原理计算领域投入了巨大的研究资源，近年来在锂电池正极材料、热电材料、光催化水分解、二维材料异质结和拓扑半金属等方面产出了大量高水平应用工作。然而，方法学层面的原创贡献和基准计算的重视程度与应用研究的规模不成比例。
Užulis和Gulans的工作提供了几个值得深思的方面。首先，扎实的方法学基础是可靠应用的前提。没有精确的基准数据，应用层面的精度声明缺乏根基。对于使用VASP和Quantum ESPRESSO等赝势平面波代码的中国研究者，本文提供的14种材料的HF总能量可以直接用作检验计算设置是否可靠的标尺。其次，赝势引入的系统误差在特定应用场景中不容忽视。缺陷形成能预测——这是半导体工艺模拟中的核心输入量——对绝对能量标度的敏感度远高于大多数研究者的直觉预期。本文的基准数据使得对赝势方案的精度评估成为可能。第三，全电子方法的持续发展为突破赝势近似的局限提供了技术途径。对于追求最高精度的研究，WIEN2k、exciting和FLEUR等全电子代码值得更多的关注和使用。
结语
Užulis和Gulans的工作代表了固体电子结构基准计算的一个重要里程碑。通过在LAPW框架中实现HF自洽的径向基函数和芯态轨道，他们首次为周期性固体建立了系统性的通向HF完全基组极限的路径。五个分子的验证展示了微哈特里精度——最大偏差仅2.5 μHa。14种半导体和绝缘体的基准数据填补了该领域长期存在的数据空白，提供了最广泛的固体全电子HF参考数据集。硅自间隙缺陷的应用示范则展示了这些基准数据如何转化为对实际物理争议的可靠裁决。
在计算材料学日益依赖高通量筛选和机器学习预测的今天，这类严谨的方法学工作构成了整个研究大厦的地基。精确的参考数据始终是推动领域前进的基石——这是Užulis和Gulans用微哈特里精度向我们证明的事实。
对于计算物理领域的研究生和青年研究者，这篇论文也是一份优秀的学习材料。它清晰地展示了如何从一个概念性的问题（LAPW与HF的不一致性）出发，通过严谨的数学推导和数值实现，最终得到具有广泛实用价值的解决方案。这种从问题到方法、从验证到应用的完整研究路径，值得每一位从事方法学开发的研究者借鉴和学习。
此外，值得注意的是，这项工作完全基于开源代码exciting完成。这意味着全球的研究者都可以在自己的体系中复现和应用这些方法，而不受商业软件许可的限制。开放科学的精神，加上坚实的物理学基础，使得这项工作的影响力可以最大化地辐射到整个计算物理和计算化学社区。可以预见，随着更多研究者采用这套HF自洽LAPW方案，固体电子结构计算的精度标准将进一步提高，推动该领域向更高精度、更大规模的方向持续发展。
论文信息
- 标题: Hartree-Fock Limit for Energies in Solids
- 作者: Janis Uzulis, Andris Gulans
- 机构: 拉脱维亚大学物理系
- arXiv: 2606.20116v1
- 日期: 2026年6月18日
- 领域: 凝聚态物理-材料科学 / 物理化学
- 资助: 拉脱维亚科学委员会 lzp-2024/1-0202
- 计算资源: EuroHPC MareNostrum 5
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